fix: a* in docs

docs/A*.md

@@ -14,27 +14,27 @@
 
 1. **可接受性（Admissibility）**：
    - 一个启发式函数是可接受的，如果它从不高估从节点到目标节点的实际最小成本。
-   - 数学定义：对于所有节点 \(n\)，启发式函数 \(h(n)\) 必须满足 \(h(n) \leq h^*(n)\)，其中 \(h^*(n)\) 是从节点 \(n\) 到目标节点的实际成本。
+   - 数学定义：对于所有节点 $n$，启发式函数 $h(n)$ 必须满足 $h(n) \leq h^*(n)$，其中 $h^*(n)$ 是从节点 $n$ 到目标节点的实际成本。
 
 2. **一致性（Consistency）**：
-   - 一致性的启发式函数也称为单调性启发式函数。如果对于所有节点 \(n\) 和其每个子节点 \(m\)，启发式函数 \(h\) 满足 \(h(n) \leq c(n, m) + h(m)\)，其中 \(c(n, m)\) 是从节点 \(n\) 到节点 \(m\) 的实际成本。
-   - 数学定义：\(h(n) \leq c(n, m) + h(m)\)。
+   - 一致性的启发式函数也称为单调性启发式函数。如果对于所有节点 $n$ 和其每个子节点 $m$，启发式函数 $h$ 满足 $h(n) \leq c(n, m) + h(m)$，其中 $c(n, m)$ 是从节点 $n$ 到节点 $m$ 的实际成本。
+   - 数学定义：$h(n) \leq c(n, m) + h(m)$。
 
 ### 启发式函数的示例
 
 1. **曼哈顿距离（Manhattan Distance）**：
    - 在网格路径规划中，曼哈顿距离是两个点之间沿轴线方向的总距离。
-   - 公式：\(h(n) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|\)。
+   - 公式：$h(n) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$。
 
 2. **欧几里得距离（Euclidean Distance）**：
    - 欧几里得距离是两点之间的直线距离。
-   - 公式：\(h(n) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\)。
+   - 公式：$h(n) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$。
 
 ## A*搜索算法
 
 ### 什么是A*搜索？
 
-A*搜索是一种图搜索算法，它结合了Dijkstra算法和贪婪最佳优先搜索的优点。A*搜索使用启发式函数来引导搜索方向，从而找到从起始点到目标点的最优路径。
+A\*搜索是一种图搜索算法，它结合了Dijkstra算法和贪婪最佳优先搜索的优点。A*搜索使用启发式函数来引导搜索方向，从而找到从起始点到目标点的最优路径。
 
 ### A*搜索的工作原理
 
@@ -48,15 +48,14 @@ A*搜索是一种图搜索算法，它结合了Dijkstra算法和贪婪最佳优
    - 重复上述步骤，直到找到目标节点或优先队列为空。
 
 3. **代价函数**：
-   - A*搜索使用一个代价函数 \(f(n) = g(n) + h(n)\) 来评估每个节点的优先级。
-   - 其中，\(g(n)\) 是从起始节点到节点 \(n\) 的实际代价，\(h(n)\) 是从节点 \(n\) 到目标节点的启发式估计代价。
+   - A*搜索使用一个代价函数 $f(n) = g(n) + h(n)$ 来评估每个节点的优先级。
+   - 其中，$g(n)$ 是从起始节点到节点 $n$ 的实际代价，$h(n)$ 是从节点 $n$ 到目标节点的启发式估计代价。
 
 ### A*搜索的伪代码
 
 ```pseudo
 function A*(start, goal)
     openSet := {start}
-    cameFrom := empty map
 
     gScore := map with default value of Infinity
     gScore[start] := 0
@@ -67,26 +66,18 @@ function A*(start, goal)
     while openSet is not empty
         current := node in openSet with lowest fScore[current]
         if current == goal
-            return reconstruct_path(cameFrom, current)
+            return success
 
         openSet.remove(current)
         for each neighbor of current
             tentative_gScore := gScore[current] + d(current, neighbor)
-            if tentative_gScore < gScore[neighbor]
-                cameFrom[neighbor] := current
+            if tentative_gScore < gScore[neighbor]               
                 gScore[neighbor] := tentative_gScore
                 fScore[neighbor] := gScore[neighbor] + heuristic(neighbor, goal)
                 if neighbor not in openSet
                     openSet.add(neighbor)
 
     return failure
-
-function reconstruct_path(cameFrom, current)
-    total_path := {current}
-    while current in cameFrom
-        current := cameFrom[current]
-        total_path.prepend(current)
-    return total_path
 ```
 
 ### A*搜索的应用

docs/minmax.md

@@ -43,7 +43,7 @@ Minimax 是一种用于两人对弈游戏的决策算法，如国际象棋、井
 ```
  X | O | X      X | O | X      X | O | X
 -----------    -----------    -----------
- O | X | X    O | X |     O | X |  
+ O | X | X      O | X |        O | X |  
 -----------    -----------    -----------
    |   | O      X |   | O      X |   | O
 ```
@@ -58,7 +58,7 @@ Minimax 是一种用于两人对弈游戏的决策算法，如国际象棋、井
 ```
  X | O | X      X | O | X      X | O | X
 -----------    -----------    -----------
- O | X | X    O | X |     O | X |  
+ O | X | X      O | X |        O | X |  
 -----------    -----------    -----------
    |   | O      X |   | O      X |   | O
 
@@ -107,6 +107,16 @@ function minimax(node, depth, maximizingPlayer)
 
 Alpha-Beta 剪枝是 Minimax 算法的一种优化。它通过剪枝那些不会影响最终决策的分支，减少需要评估的节点数量。
 
+### Alpha-Beta 剪枝的基本思想
+
+Alpha-Beta 剪枝的主要思想是：在某些情况下，可以提前停止对某些节点的评估，因为这些节点不会影响最终的决策。
+
+- **Alpha 值**：当前节点在最大化玩家层面上可以得到的最高分数。
+- **Beta 值**：当前节点在最小化玩家层面上可以得到的最低分数。
+
+如果在搜索过程中发现一个节点的评估值无法改进当前的 Alpha 或 Beta 值，就可以停止对该节点的进一步搜索。
+
+
 ### 带 Alpha-Beta 剪枝的伪代码
 
 ```pseudo
@@ -120,7 +130,7 @@ function alphabeta(node, depth, α, β, maximizingPlayer)
             eval = alphabeta(child, depth - 1, α, β, false)
             maxEval = max(maxEval, eval)
             α = max(α, eval)
-            if β <= α
+            if β < α
                 break
         return maxEval
     else
@@ -129,7 +139,7 @@ function alphabeta(node, depth, α, β, maximizingPlayer)
             eval = alphabeta(child, depth - 1, α, β, true)
             minEval = min(minEval, eval)
             β = min(β, eval)
-            if β <= α
+            if β < α
                 break
         return minEval
 ```