feat: p2

docs/minimax.md

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+# Minimax 搜索算法
+
+## 介绍
+
+Minimax 是一种用于两人对弈游戏的决策算法，如国际象棋、井字棋和跳棋。它帮助确定玩家的最佳行动，假设对手也在最优地进行游戏。Minimax 算法的目标是在最小化可能损失的情况下最大化玩家的得分（因此得名 "minimax"）。
+
+## 基本概念
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+### 游戏树
+
+游戏树表示游戏中所有可能的移动。从当前状态开始，每个节点代表一个游戏状态，每条边代表一个移动。
+
+### 最大化和最小化玩家
+
+- **最大化玩家（Max）**：这个玩家试图获得尽可能高的分数。
+- **最小化玩家（Min）**：这个玩家试图最小化最大化玩家的得分。
+
+## Minimax 如何工作
+
+1. **生成游戏树**：从当前游戏状态开始，生成所有可能的未来状态，直到某个预定深度。
+2. **评估叶节点**：使用评估函数为每个叶节点（终止状态或最大深度的状态）分配一个分数。
+3. **回溯分数**：
+   - 对于 Max 节点，选择子节点中得分最高的。
+   - 对于 Min 节点，选择子节点中得分最低的。
+4. **选择最佳移动**：在根节点（当前游戏状态），选择导致 Max 玩家得分最高的移动。
+
+## 示例
+
+让我们以井字棋为例。假设现在是 Max 的回合，当前棋盘如下：
+
+```
+ X | O | X
+-----------
+ O | X |  
+-----------
+   |   | O
+```
+
+### 步骤 1：生成游戏树
+
+生成 Max 的所有可能移动。由于是 Max 的回合，在每个空位上放置一个 "X"：
+
+```
+ X | O | X      X | O | X      X | O | X
+-----------    -----------    -----------
+ O | X | X      O | X |        O | X |  
+-----------    -----------    -----------
+   |   | O      X |   | O      X |   | O
+```
+
+### 步骤 2：评估叶节点
+
+为叶节点分配分数。假设：
+- Max 获胜得 +10 分
+- Min 获胜得 -10 分
+- 平局得 0 分
+
+```
+ X | O | X      X | O | X      X | O | X
+-----------    -----------    -----------
+ O | X | X      O | X |        O | X |  
+-----------    -----------    -----------
+   |   | O      X |   | O      X |   | O
+
+得分: 0      得分: 10      得分: 10
+```
+
+### 步骤 3：回溯分数
+
+由于根节点是 Max 的回合，选择子节点中得分最高的：
+
+```
+ Max
+  |
+  V
+ 10
+```
+
+### 步骤 4：选择最佳移动
+
+Max 将选择导致得分为 10 的移动。
+
+## 伪代码
+
+以下是 Minimax 算法的简单伪代码：
+
+```pseudo
+function minimax(node, depth, maximizingPlayer)
+    if depth == 0 or node is a terminal node
+        return evaluate(node)
+    
+    if maximizingPlayer
+        maxEval = -∞
+        for each child of node
+            eval = minimax(child, depth - 1, false)
+            maxEval = max(maxEval, eval)
+        return maxEval
+    else
+        minEval = +∞
+        for each child of node
+            eval = minimax(child, depth - 1, true)
+            minEval = min(minEval, eval)
+        return minEval
+```
+
+## Alpha-Beta 剪枝
+
+Alpha-Beta 剪枝是 Minimax 算法的一种优化。它通过剪枝那些不会影响最终决策的分支，减少需要评估的节点数量。
+
+### Alpha-Beta 剪枝的基本思想
+
+Alpha-Beta 剪枝的主要思想是：在某些情况下，可以提前停止对某些节点的评估，因为这些节点不会影响最终的决策。
+
+- **Alpha 值**：当前节点在最大化玩家层面上可以得到的最高分数。
+- **Beta 值**：当前节点在最小化玩家层面上可以得到的最低分数。
+
+如果在搜索过程中发现一个节点的评估值无法改进当前的 Alpha 或 Beta 值，就可以停止对该节点的进一步搜索。
+
+要评估的节点数量，从而提高了效率。
+
+### Alpha-Beta 剪枝的步骤
+
+1. 初始条件：
+
+    - Alpha 的初始值为负无穷（表示当前最大化玩家的已知最优值）。
+    - Beta 的初始值为正无穷（表示当前最小化玩家的已知最优值）。
+2. 剪枝条件：
+
+    - 在最大化层（Max 层），如果当前节点的评估值大于或等于 Beta 值，则不再评估该节点的后续分支。因为这一分支返回的评估值不会小于当前评估值，即已经比 Beta 更大，因而上一层的最小化玩家不会选择这一分支，而是选择之前的 Beta（剪枝）。
+    - 在最小化层（Min 层），如果当前节点的评估值小于或等于 Alpha 值，则不再评估该节点的后续分支，因为这一分支返回的评估值不会大于当前评估值，即已经比 Alpha 更小，因而上一层最大化玩家不会选择这一分支，而是选择之前的 Alpha（剪枝）。
+3. 递归过程：
+
+    - 在递归过程中，算法不断更新 Alpha 和 Beta 值。Alpha 表示当前最大化玩家可以保证的最高值，Beta 表示当前最小化玩家可以保证的最低值。
+    - 每次评估一个节点后，根据评估结果更新 Alpha 或 Beta 值，并判断是否需要进行剪枝。
+
+### 带 Alpha-Beta 剪枝的伪代码
+
+```pseudo
+function alphabeta(node, depth, α, β, maximizingPlayer)
+    if depth == 0 or node is a terminal node
+        return evaluate(node)
+    
+    if maximizingPlayer
+        maxEval = -∞
+        for each child of node
+            eval = alphabeta(child, depth - 1, α, β, false)
+            maxEval = max(maxEval, eval)
+            α = max(α, eval)
+            if β < α
+                break
+        return maxEval
+    else
+        minEval = +∞
+        for each child of node
+            eval = alphabeta(child, depth - 1, α, β, true)
+            minEval = min(minEval, eval)
+            β = min(β, eval)
+            if β < α
+                break
+        return minEval
+```
+
+## 结论
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+Minimax 是一种在两人对弈游戏中做出最佳决策的强大算法。通过考虑所有可能的移动及其结果，它确保玩家在假设对手也在最优地进行游戏的情况下做出最佳移动。Alpha-Beta 剪枝进一步提高了 Minimax 的效率，减少了需要评估的节点数量。
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