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# Minimax 搜索算法
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## 介绍
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Minimax 是一种用于两人对弈游戏的决策算法，如国际象棋、井字棋和跳棋。它帮助确定玩家的最佳行动，假设对手也在最优地进行游戏。Minimax 算法的目标是在最小化可能损失的情况下最大化玩家的得分（因此得名 "minimax"）。
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## 基本概念
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### 游戏树
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游戏树表示游戏中所有可能的移动。从当前状态开始，每个节点代表一个游戏状态，每条边代表一个移动。
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### 最大化和最小化玩家
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- **最大化玩家（Max）**：这个玩家试图获得尽可能高的分数。
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- **最小化玩家（Min）**：这个玩家试图最小化最大化玩家的得分。
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## Minimax 如何工作
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1. **生成游戏树**：从当前游戏状态开始，生成所有可能的未来状态，直到某个预定深度。
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2. **评估叶节点**：使用评估函数为每个叶节点（终止状态或最大深度的状态）分配一个分数。
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3. **回溯分数**：
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- 对于 Max 节点，选择子节点中得分最高的。
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- 对于 Min 节点，选择子节点中得分最低的。
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4. **选择最佳移动**：在根节点（当前游戏状态），选择导致 Max 玩家得分最高的移动。
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## 示例
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让我们以井字棋为例。假设现在是 Max 的回合，当前棋盘如下：
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```
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X | O | X
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-----------
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O | X |
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-----------
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| | O
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```
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### 步骤 1：生成游戏树
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生成 Max 的所有可能移动。由于是 Max 的回合，在每个空位上放置一个 "X"：
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```
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X | O | X X | O | X X | O | X
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O | X | X O | X | O | X |
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----------- ----------- -----------
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| | O X | | O | X | O
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```
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### 步骤 2：评估叶节点
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为叶节点分配分数。假设：
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- Max 获胜得 +10 分
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- Min 获胜得 -10 分
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- 平局得 0 分
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```
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X | O | X X | O | X X | O | X
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----------- ----------- -----------
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O | X | X O | X | O | X |
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----------- ----------- -----------
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| | O X | | O | X | O
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得分: 0 得分: 10 得分: 0
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```
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### 步骤 3：回溯分数
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由于根节点是 Max 的回合，选择子节点中得分最高的：
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```
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Max
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V
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10
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```
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### 步骤 4：选择最佳移动
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Max 将选择导致得分为 10 的移动。
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## 伪代码
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以下是 Minimax 算法的简单伪代码：
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```pseudo
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function minimax(node, depth, maximizingPlayer)
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if depth == 0 or node is a terminal node
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return evaluate(node)
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if maximizingPlayer
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maxEval = -∞
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for each child of node
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eval = minimax(child, depth - 1, false)
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maxEval = max(maxEval, eval)
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return maxEval
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else
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minEval = +∞
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for each child of node
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eval = minimax(child, depth - 1, true)
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minEval = min(minEval, eval)
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return minEval
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```
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## Alpha-Beta 剪枝
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Alpha-Beta 剪枝是 Minimax 算法的一种优化。它通过剪枝那些不会影响最终决策的分支，减少需要评估的节点数量。
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### Alpha-Beta 剪枝的基本思想
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Alpha-Beta 剪枝的主要思想是：在某些情况下，可以提前停止对某些节点的评估，因为这些节点不会影响最终的决策。
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- **Alpha 值**：当前节点在最大化玩家层面上可以得到的最高分数。
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- **Beta 值**：当前节点在最小化玩家层面上可以得到的最低分数。
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如果在搜索过程中发现一个节点的评估值无法改进当前的 Alpha 或 Beta 值，就可以停止对该节点的进一步搜索。
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要评估的节点数量，从而提高了效率。
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### Alpha-Beta 剪枝的步骤
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1. 初始条件：
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- Alpha 的初始值为负无穷（表示当前最大化玩家的已知最优值）。
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- Beta 的初始值为正无穷（表示当前最小化玩家的已知最优值）。
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2. 剪枝条件：
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- 在最大化层（Max 层），如果当前节点的评估值大于或等于 Beta 值，则不再评估该节点的后续分支。因为这一分支返回的评估值不会小于当前评估值，即已经比 Beta 更大，因而上一层的最小化玩家不会选择这一分支，而是选择之前的 Beta（剪枝）。
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- 在最小化层（Min 层），如果当前节点的评估值小于或等于 Alpha 值，则不再评估该节点的后续分支，因为这一分支返回的评估值不会大于当前评估值，即已经比 Alpha 更小，因而上一层最大化玩家不会选择这一分支，而是选择之前的 Alpha（剪枝）。
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3. 递归过程：
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- 在递归过程中，算法不断更新 Alpha 和 Beta 值。Alpha 表示当前最大化玩家可以保证的最高值，Beta 表示当前最小化玩家可以保证的最低值。
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- 每次评估一个节点后，根据评估结果更新 Alpha 或 Beta 值，并判断是否需要进行剪枝。
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### 带 Alpha-Beta 剪枝的伪代码
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```pseudo
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function alphabeta(node, depth, α, β, maximizingPlayer)
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if depth == 0 or node is a terminal node
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return evaluate(node)
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if maximizingPlayer
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maxEval = -∞
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for each child of node
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eval = alphabeta(child, depth - 1, α, β, false)
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maxEval = max(maxEval, eval)
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α = max(α, eval)
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if β < α
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break
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return maxEval
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else
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minEval = +∞
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for each child of node
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eval = alphabeta(child, depth - 1, α, β, true)
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minEval = min(minEval, eval)
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β = min(β, eval)
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if β < α
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||
break
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return minEval
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```
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## 结论
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Minimax 是一种在两人对弈游戏中做出最佳决策的强大算法。通过考虑所有可能的移动及其结果，它确保玩家在假设对手也在最优地进行游戏的情况下做出最佳移动。Alpha-Beta 剪枝进一步提高了 Minimax 的效率，减少了需要评估的节点数量。
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