5.8 KiB
5.8 KiB
Minimax 搜索算法
介绍
Minimax 是一种用于两人对弈游戏的决策算法，如国际象棋、井字棋和跳棋。它帮助确定玩家的最佳行动，假设对手也在最优地进行游戏。Minimax 算法的目标是在最小化可能损失的情况下最大化玩家的得分（因此得名 "minimax"）。
基本概念
游戏树
游戏树表示游戏中所有可能的移动。从当前状态开始，每个节点代表一个游戏状态，每条边代表一个移动。
最大化和最小化玩家
- 最大化玩家（Max）：这个玩家试图获得尽可能高的分数。
- 最小化玩家（Min）：这个玩家试图最小化最大化玩家的得分。
Minimax 如何工作
- 生成游戏树：从当前游戏状态开始，生成所有可能的未来状态，直到某个预定深度。
- 评估叶节点：使用评估函数为每个叶节点（终止状态或最大深度的状态）分配一个分数。
- 回溯分数：
- 对于 Max 节点，选择子节点中得分最高的。
- 对于 Min 节点，选择子节点中得分最低的。
- 选择最佳移动：在根节点（当前游戏状态），选择导致 Max 玩家得分最高的移动。
示例
让我们以井字棋为例。假设现在是 Max 的回合，当前棋盘如下：
X | O | X
-----------
O | X |
-----------
| | O
步骤 1：生成游戏树
生成 Max 的所有可能移动。由于是 Max 的回合，在每个空位上放置一个 "X"：
X | O | X X | O | X X | O | X
----------- ----------- -----------
O | X | X O | X | O | X |
----------- ----------- -----------
| | O X | | O | X | O
步骤 2：评估叶节点
为叶节点分配分数。假设：
- Max 获胜得 +10 分
- Min 获胜得 -10 分
- 平局得 0 分
X | O | X X | O | X X | O | X
----------- ----------- -----------
O | X | X O | X | O | X |
----------- ----------- -----------
| | O X | | O | X | O
得分: 0 得分: 10 得分: 0
步骤 3：回溯分数
由于根节点是 Max 的回合，选择子节点中得分最高的：
Max
|
V
10
步骤 4：选择最佳移动
Max 将选择导致得分为 10 的移动。
伪代码
以下是 Minimax 算法的简单伪代码：
function minimax(node, depth, maximizingPlayer)
if depth == 0 or node is a terminal node
return evaluate(node)
if maximizingPlayer
maxEval = -∞
for each child of node
eval = minimax(child, depth - 1, false)
maxEval = max(maxEval, eval)
return maxEval
else
minEval = +∞
for each child of node
eval = minimax(child, depth - 1, true)
minEval = min(minEval, eval)
return minEval
Alpha-Beta 剪枝
Alpha-Beta 剪枝是 Minimax 算法的一种优化。它通过剪枝那些不会影响最终决策的分支，减少需要评估的节点数量。
Alpha-Beta 剪枝的基本思想
Alpha-Beta 剪枝的主要思想是：在某些情况下，可以提前停止对某些节点的评估，因为这些节点不会影响最终的决策。
- Alpha 值：当前节点在最大化玩家层面上可以得到的最高分数。
- Beta 值：当前节点在最小化玩家层面上可以得到的最低分数。
如果在搜索过程中发现一个节点的评估值无法改进当前的 Alpha 或 Beta 值，就可以停止对该节点的进一步搜索。
要评估的节点数量，从而提高了效率。
Alpha-Beta 剪枝的步骤
-
初始条件：
- Alpha 的初始值为负无穷（表示当前最大化玩家的已知最优值）。
- Beta 的初始值为正无穷（表示当前最小化玩家的已知最优值）。
-
剪枝条件：
- 在最大化层（Max 层），如果当前节点的评估值大于或等于 Beta 值，则不再评估该节点的后续分支。因为这一分支返回的评估值不会小于当前评估值，即已经比 Beta 更大，因而上一层的最小化玩家不会选择这一分支，而是选择之前的 Beta（剪枝）。
- 在最小化层（Min 层），如果当前节点的评估值小于或等于 Alpha 值，则不再评估该节点的后续分支，因为这一分支返回的评估值不会大于当前评估值，即已经比 Alpha 更小，因而上一层最大化玩家不会选择这一分支，而是选择之前的 Alpha（剪枝）。
-
递归过程：
- 在递归过程中，算法不断更新 Alpha 和 Beta 值。Alpha 表示当前最大化玩家可以保证的最高值，Beta 表示当前最小化玩家可以保证的最低值。
- 每次评估一个节点后，根据评估结果更新 Alpha 或 Beta 值，并判断是否需要进行剪枝。
带 Alpha-Beta 剪枝的伪代码
function alphabeta(node, depth, α, β, maximizingPlayer)
if depth == 0 or node is a terminal node
return evaluate(node)
if maximizingPlayer
maxEval = -∞
for each child of node
eval = alphabeta(child, depth - 1, α, β, false)
maxEval = max(maxEval, eval)
α = max(α, eval)
if β < α
break
return maxEval
else
minEval = +∞
for each child of node
eval = alphabeta(child, depth - 1, α, β, true)
minEval = min(minEval, eval)
β = min(β, eval)
if β < α
break
return minEval
结论
Minimax 是一种在两人对弈游戏中做出最佳决策的强大算法。通过考虑所有可能的移动及其结果，它确保玩家在假设对手也在最优地进行游戏的情况下做出最佳移动。Alpha-Beta 剪枝进一步提高了 Minimax 的效率，减少了需要评估的节点数量。